Приветствую, граждане Империума! Сегодня я расскажу вам про такое явление, как пределы. Итак, приступим. Всего есть несколько разных типовых примеров на пределы. Все они решаются достаточно просто, нужно лишь только в них вглядеться. Давайте разберем все типовые примеры, что вы можете повстречать при решении заданий:
Многочлен разделенный на многочлен, стремится к бесконечности
Тут мы просто смотрим на самую старшую степень среди двух многочленов и делим на x в данной степени числитель и знаменатель, в приведённом примере на x4, что же мы получим в итоге?
Очевидно, что 2 и 3 слагаемое числителя, а также все слагаемые знаменателя стремятся к 0 (поскольку мы делим какое-то константное число на бесконечно большое, очевидно, что оно будет близким к 0). Получается, что некая константа делится на нуль, это будет бесконечно большое число. Но давайте разберем все возможные случаи.
- Только в знаменателе 0 – значит ответ бесконечность
- Только в числителе 0 – ответ 0
- В чилителе и знаменателе 0 – разделили на слишком большое число =)
- Константы в числителе и знаменателе – просто сокращаем их и получаем в ответе константу
Этот же метод можно попробовать применить, если у нас показательные какие-то функции, факториалы и тп.
Многочлен делить на многочлен, стремится к конкретному числу
Обычно в таком случае имеем неопределённость вида 0/0, которая легко может быть решена путем сокращения числителя и знаменателя на общий делитель. То есть:
Далее становится очевидным, что можно сократить на (x-2) и получить результат, поскольку именно этот множитель давал неопределённость.
Но не всегда так просто выделить неопределённость, порой встречаются какие-то корни. Тут зачастую есть только один путь: домножение на сопряжённое слагаемое. Запомни, гвардеец, не можешь просто так разобраться с корнями, попробуй вспомнить три формулы:
Разность квадратов a2-b2=(a-b)(a+b)
Разность кубов a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)
Сумма кубов a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)
Приведем же какой-то пример:
Разберём, что здесь было написано. Чтобы решить данный пример я домножил на сопряжённое обе части, то есть числитель и знаменатель. Для числителя я воспользовался формулой разности квадратов, для знаменателя – разностью кубов, после чего один из множителей сократился и у нас ушла неопределённость.
Пример неопределенности 0/0, что не особо похож на предыдущие
Что мы применили здесь? Этот приём называется «замена функции на асимптотически равное ей». Таких функций всего несколько и замены на них можно делать только в том случае, если функции, что мы заменяем, не разделены знаком сложения или вычитания. В противном случае это может привести к ошибкам и утери решения.
Перечислим асимптотически равные функции, а точнее, какие функции на какие можно заменять. Если f(x)Þ0, то можно делать замену sin f(x), tg f(x), arcsin f(x), arctg f(x), e^f(x) – 1, ln (1 +f(x)) на f(x); 1-cos f(x) заменяется на f(x)^2/2, а также (1+х)^a-1 заменяется на ах, то есть, как в данном примере, была замена 1-cos(Пи/2-x) на просто (Пи/2-х)^2.
Пусть у нас есть функция, где есть предел корень из многочлена минус корень из многочлена. Такое решается, как и ранее: домножением на сопряжённое.
Примеры такого вида мы уже умеем решать, просто разделив на старшую степень х, то есть для данного случая на х. Ответом будет 2.
Порой встречаются примеры, которые такими способами не решаются, как, например, дробь в степени дроби, а в общем случае f(x)^g(x).
Разберём такой пример:
Для того, чтобы решить данный пример, необходимо выделить целую часть в основании степени и привести к виду второго замечательного предела
И домножить и разделить показатель степени на то, что образовалось в знаменателе. Таким образом мы получим e в исходной степени, домноженное на перевёрнутый знаменатель.
Такие манипуляции могут быть проделаны не только с многочленами, но и с различными тригонометрическими функциями и тд.
Порой вы не сможете по-простому разложить на множители, либо выделить целую часть. В таком случае нужно обратиться к виду примера и, если это тригонометрические функции, возможно воспользоваться формулами приведения, либо как-то преобразовать. В случае логарифмов: их можно разложить.
Иногда нам разрешено использовать так называемое правило Лопиталя, которое заключается в том, что, продифференцировав числитель и знаменатель неопределённостей, мы получаем такой же предел. Более подробно о технике дифференцирования мы поговорим в следующем уроке, а сейчас разберём пример, который зачастую вызывает трудности.
Как видно в данном примере, мы использовали один новый и один старый подход. Из нового было то, что если мы не можем ничего сделать стандартными методами со степенной функцией, то мы её логарифмируем. Такое можно использовать не только для решения пределов, но, а также как мы дальше поймём, для взятия производных. Запомни, гвардеец, в любой непонятной ситуации всегда логарифмируй.
Также выпишем формулу для этого самого логарифмирования:
Что ж, граждане, на этом наш урок подходит к концу. Мы разобрали большую часть типовых примеров и, если будут оставаться какие-либо вопросы или предложения по улучшению данной статьи, то вы можете связаться с нами в контактах или написать комментарий к данному разделу.